포트폴리오 이론 #3: Capital Asset Pricing Model

1. CAPM의 가정

• 완전경쟁: 다수의 투자자, 개별 투자자의 자산은 전체 자산에 비해 작음
• 단일투자기간: 동일한 기간의 단일투자기간(Single holding period)
• 공개시장에서 거래되는 자산이 투자대상이며 무위험자산으로 차입/투자 가능
• 세금/거래비용 없음
• 모든 투자자들은 Mean-Variance Optimizer임
• 모든 투자자들은 동일한 기대 보유(기대수익률, 리스크)하기 때문에 동일한 Mean-Variance Frontier 가짐

2. CAPM 도출 #1 - 시장 포트폴리오 유도

무위험자산과 위험자산을 조합한 포트폴리오 P

• : 무위험자산의 투자 비중
• : 위험자산 포트폴리오 내 자산 비중 벡터
• 

포트폴리오 P의 기대수익률 및 리스크

•  ---(1)
•  ---(2)

효용함수를 최대화하는 (위험자산 포트폴리오 내 자산 비중 벡터) 구하기 - 라그랑지 승수법

• 
• 
•  ---(3)

(3)을 (1)에 대입하면,

• 
• 편의상 로 정의(는 스칼라로 정리됨)
•  ---(4)

(3)을 (2)에 대입하면,

•  ---(5)
•  ---(6)

포트폴리오 이론 #2: Minimum Variance Portfolio

1. 문제의 출발

n개의 위험자산에 대한 minimum variance portfolio(MVP) 구하기 (무위험자산은 없음)

 MVP란 특정 위험 수준에서 기대수익률을 최대로 만드는 포트폴리오의 집합

따라서, 다음과 같은 식을 만족하는 해를 찾아야 함

• min: 
• subject to: ; 

그러나 문제를 단순화하기 위해 효용함수를 이용한 방식으로 전환 가능

2. 효용함수로 접근하는 MVP

효용함수로 접근하는 문제는 다음과 같이 설정 가능

• max: 
• subject to: 

라그랑지 승수법으로 바꾸면

• 

x와 λ에 대해 각각 편미분 하면

•  ---(1)
• ---(2)

(1)로 부터 다음 식 도출

•  ---(3)

(3)을 (2)에 대입하여 다음 식 도출

•  ---(4)

(4)를 (3)에 대입하여 다음 식 도출

•   ---(5)

편의상 스칼라 값을 다음과 같이 치환

• 
• 
• 
• 

(5)는 다음과 같이 정리

•  ---(6)

일부 식을 편의상 다음과 같이 치환

• 
• 

(6)은 최종적으로 다음과 같이 정리

•  ---(7)

따라서 (7)은 효용함수를 극대화하는 자산 x의 비중

포트폴리오 이론 #01: 기본 행렬 계산 및 효용 함수

1. 행렬로 표현하는 평균과 분산

X는 m개의 주식의 n개의 시계열동안의 수익률 (예)



          


x는 포트폴리오 내 각 자산의 비중