포트폴리오 이론 #3: Capital Asset Pricing Model

1. CAPM의 가정

• 완전경쟁: 다수의 투자자, 개별 투자자의 자산은 전체 자산에 비해 작음
• 단일투자기간: 동일한 기간의 단일투자기간(Single holding period)
• 공개시장에서 거래되는 자산이 투자대상이며 무위험자산으로 차입/투자 가능
• 세금/거래비용 없음
• 모든 투자자들은 Mean-Variance Optimizer임
• 모든 투자자들은 동일한 기대 보유(기대수익률, 리스크)하기 때문에 동일한 Mean-Variance Frontier 가짐

2. CAPM 도출 #1 - 시장 포트폴리오 유도

무위험자산과 위험자산을 조합한 포트폴리오 P

• : 무위험자산의 투자 비중
• : 위험자산 포트폴리오 내 자산 비중 벡터
• 

포트폴리오 P의 기대수익률 및 리스크

•  ---(1)
•  ---(2)

효용함수를 최대화하는 (위험자산 포트폴리오 내 자산 비중 벡터) 구하기 - 라그랑지 승수법

• 
• 
•  ---(3)

(3)을 (1)에 대입하면,

• 
• 편의상 로 정의(는 스칼라로 정리됨)
•  ---(4)

(3)을 (2)에 대입하면,

•  ---(5)
•  ---(6)

Added-Fund Theorem

• 기존의 자산군으로 만들어진 Minimum-Variance frontier에서 새로운 자산이 한개 추가되면, 새롭게 만들어진 MVF는 반드시 한 점에서 기존의 MVF와 반드시 접함
• 접점은 새롭게 추가된 자산의 비중이 0인 지점
• [그림1]: 무위험자산이 없을 때 만들어진 기존 MVF(검은색) 위의 어떤 포트폴리오(I)가 있을 때, 포트폴리오 P는 I와 무위험 자산의 선형 조합으로 만들어진 포트폴리오이며 이 선형 조합은 새로운 MVF를 구성하게 됨(파란점선). 이 두개의 MVF는 반드시 한 점에서 접하게 되는데 이 점은 무위험자산이 0%인 지점, 곧 I가 위치한 곳
• 결국 모든 투자자는 위험회피계수 A 따라 계산된 최적의 비중으로 I와 무위험자산의 조합하여 최종포트폴리오 P 구성
• I는 모든 투자자들이 같은 결과를 갖는 접점 포트폴리오이고 "Tangent portfolio"라고 부름

      [그림1]

      

Tangent Portfolio

위에서 언급된대로, Tangent portfolio는 무위험자산의 비중이 0인 지점

따라서 (3)의 자산 비중 벡터의 합은 1이 되어야 함

              

              

              

             

       

       

Market Equilibrium Assumption

• 포트폴리오 T가 시장 포트폴리오(Market Potfolio)가 되기 위한 가정
• 시장의 수요-공급이 일정하게 유지되면서 포트폴리오 T는 시장의 전체 부(wealth)를 포함
• 모든 투자자는 모두 같은 비중의 자산을 보유하고 있음
• 결국 포트폴리오 T는 모든 자산을 시가총액 비중으로 포함하고 있는 시장 포트폴리오

3. CAPM 도출 #2 - 공식 유도

시장 포트폴리오의 기대수익률 및 위험

        

        

 ---(7)

무작위 포트폴리오 Q(MVF일 필요 없음)와 시장 포트폴리오 M의 공분산

                           

                           

                           

                           

                                                       

                            ---(8)

 ---(9)

(9)를 이용하여 (8)을 재정리 하면,

                        

4. Zero-Beta CAPM

Zero-Beta CAPM 유도의 출발

• 효율적 포트폴리오 m(시장포트폴리오일 필요 없음), 무작위 포트폴리오 Q(MVF상의 포트폴리오일 필요 없음)
• 무위험자산 없이, 위험자산 및 그 위험자산으로 구성된 MVF을 가지고 유도
• 포트폴리오 이론 #2의 식 (1) 활용:  ---(10)

포트폴리오 m과 Q의 기대수익률로부터 유도한 몇가지 수식


               
               
∴ 

               
               
 ---(11)

Zero-Beta 포트폴리오

포트폴리오 m과 공분산이 0인 MVF상의 포트폴리오 Z가 있다면,


               
                (∵ ) ---(12)

(12)를 (11)에 대입하면,




따라서, 시장 포트폴리오와의 공분산이 0인 포트폴리오 수익률을 무위험자산의 수익률로 대체하여 CAPM을 적용할 수 있음

Zero-Beta 포트폴리오의 위치


                           
                           
                               


d는 언제나 0보다 큰 수를 갖기 때문에 포트폴리오 Z는 inefficient frontier(곡선의 아래부분)에 위치함

※ CAPM의 실제 적용성에 대한 논의는 개별 포스팅 예정



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