포트폴리오 이론 #2: Minimum Variance Portfolio

1. 문제의 출발

n개의 위험자산에 대한 minimum variance portfolio(MVP) 구하기 (무위험자산은 없음)

 MVP란 특정 위험 수준에서 기대수익률을 최대로 만드는 포트폴리오의 집합

따라서, 다음과 같은 식을 만족하는 해를 찾아야 함

• min: 
• subject to: ; 

그러나 문제를 단순화하기 위해 효용함수를 이용한 방식으로 전환 가능

2. 효용함수로 접근하는 MVP

효용함수로 접근하는 문제는 다음과 같이 설정 가능

• max: 
• subject to: 

라그랑지 승수법으로 바꾸면

• 

x와 λ에 대해 각각 편미분 하면

•  ---(1)
• ---(2)

(1)로 부터 다음 식 도출

•  ---(3)

(3)을 (2)에 대입하여 다음 식 도출

•  ---(4)

(4)를 (3)에 대입하여 다음 식 도출

•   ---(5)

편의상 스칼라 값을 다음과 같이 치환

• 
• 
• 
• 

(5)는 다음과 같이 정리

•  ---(6)

일부 식을 편의상 다음과 같이 치환

• 
• 

(6)은 최종적으로 다음과 같이 정리

•  ---(7)

따라서 (7)은 효용함수를 극대화하는 자산 x의 비중

3. 중요한 가정

이 접근 방식은 다음과 같은 중요한 가정을 내포

• 단일 기간 투자(Single period horizon) 가정, 소비(Consumption)는 고려하지 않음
• 이미 주어진 기대값/표준편차 및 정규분포 가정, 투자자의 동일 기대
• 효율적 시장 가정, 단일 투자자는 시장에 영향 미칠만큼 크지 않음
• 투자자들은 합리적이며 위험 회피적, A≥0

4. GMVP(Global Minimum Variance) 도출

위에서 정리한 식에 따라 MVP의 기대값과 분산은 다음과 같음

• 
• 

1) A가 무한에 수렴하는 경우, 즉 극단적 위험회피 성향을 갖을 경우 는 0에 수렴
이 경우, 투자자는 efficient frontier에서 리스크가 가장 작은 포트폴리오 선택 (수익률 무관)
이 포트폴리오가 결국 GMVP이며, GMVP의 비중/기대수익률/분산은 다음과 같음

• 
• 
• 

앞서 치환한 스칼라 값(a, b, c)을 다시 되돌리면 위의 세값은 다음과 같이 일반화 가능

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2) Two-Fund Theorem: 위와 같이 A가 무한에 수렴하는 가정 없이, 두개의 Efficient portfolio의 선형 조합으로 또 다른 Efficient portfolio를 만들 수 있음.

• 두개 임의의 Efficient portfolio의 Allocation vector를  과 그리고 그 비중을 각각 와 이라고 한다면
• 제3의 Efficient portfolio 는 로 정리 가능
• 
• 이는 다시 로 정리되며, 로 정리.
• Efficient frontier에 있는 특정 포트폴리오를 구성하기 위해서는 그 곡선상에 있는 두개의 포트폴리오만 있으면 구성 가능.

3) 여기서 무위험 자산이 투자가능하게 된다면? One-Fund Theorem

• 투자자들은 자신의 위험회피성향 A에 따라 Efficient frontier에 있는 어떤 한 포트폴리오 P(위험자산으로 구성)와 무위험 자산의 조합을 구성하게 됨
• 포트폴리오 이론 #1에서 도출한 를 좀 더 이해하기 쉽게 쓰면 .
• 즉, 위험자산 P의 비중은 위험 포트폴리오 P의 Sharpe Ratio에 대해 A의 값에 반비례한 값. 
• 또한, 같은 수준의 A에서 P의 Sharpe Ratio가 높아질 수록 위험자산 P의 비중도 증가.
• 결국, 무위험 자산과 선형 조합이 이루게 되는 Efficient frontier의 상의 위험 포트폴리오 P는 무위험자산에서 출발한 선이 Efficient frontier에 접하는 점의 포트폴리오(오직 한개).

Next, 포트폴리오 이론 #3: Capital Asset Pricing Model