포트폴리오 이론 #01: 기본 행렬 계산 및 효용 함수

1. 행렬로 표현하는 평균과 분산

X는 m개의 주식의 n개의 시계열동안의 수익률 (예)



          


x는 포트폴리오 내 각 자산의 비중

2. 효용함수

중요가정: 투자자들은 기대수익률과 위험(표준편차)로만 의사결정. 또는 수익률은 정규분포.



A(위험회피계수: Risk aversion parameter)

• 0<A<∞
• A=0 "Risk neutral"
• A→∞ "Completely risk averse"
• Rational investors: A>0

위험자산으로 구성한 임의의 포트폴리오  P와 무위험자산으로 조합한 포트폴리오 C

P에 x 만큼, 무위험자산에 (1-x)으로 구성 가정

               

                    

효용 U를 최대로 만드는 포트폴리오 C의 구성은?


              


∴ A가 클수록(위험회피성향이 강할 수록), 무위험자산에 대한 비중이 증가

효용함수의 시사점

[그림1]

• P의 risk-return profile 및 무위험수익률 주어진 경우
• 위험자산의 비중을 늘릴 수록 효용은 증가하지만 특정 수준 이후 감소

[그림2]

• 같은 수준의 효용을 유지하기 위해서 위험이 증가하는 것보다 더 빠른 속도로 기대수익률이 증가해야하기 때문
• 일반적으로, P의 risk-return profile과 무위험수익률의 계산으로부터 출발한다면, 최적의 위험자산 포트폴리오 P의 비중은 [그림1]의 효용이 최대가 되는 점
• 다시 말하여 [그림2]의 무차별곡선과 CML의 점접에서 나오는 risk와 return를 만드는 포트폴리오 C가 최적포트폴리오

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