금융 모델링: Non-Normality of Returns

* 정규분포의 가정이 들어간 이론

• Moderen portfolio theory
• CAPM
• Black-Scholes
• VaR

* 정규분포여부의 측정

• Skewness
• Kurtosis
• Jarque-Bera Test: 

        

* Fat-tail 분포를 모델링 하는 방법: 다른 표준편차를 가진 두개의 정규분포 조합

• 예를 들어, 1) 각각 다른 변동성을 가진 두개의 정규분포 N1, N2를 각각 1,000개의 관찰값 랜덤 생성: =norm.inv(rand(), mean, stdev)
• 2) 각각의 관찰값에서 P1의 확률로 N1의 값을, P2=1-P1의 확률로 N2의 값을 취하도록 Bin값 랜덤 생성: =if(rand()<=P1, N1값, N2값)
• 이러한 모델을 stochastic volatility model이라 부름

* 더욱 정교한 변동성 모델이 필요한 이유

• Volatility is not stable
• Volatility tends to cluster
• Volatility typically reverts to a long term mean
• 대표적 모델: Exponentially Weighted Moving Average (EWMA); Generalized, autoregressive, conditional heteroscedastic models (GARCH)

* EWMA Model

    (1) Assume:

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• 

    (2) Then assume:

• 
• 

    (3) Then:

• 
• 시그마 내 요소들에 동일한 가중(1/m) 부여

    (4) However, it makes more sense to give more weight to recent data, therefore:

• 
• 

    (5) Also assume the weights assigned to the  decline exponentially:

• 
• 

* GARCH(1,1) Model

    (1) Assume:

• 
• : Long-run average variance rate

    (2) Where:

• 

    (3) EWMA Model is a special case of GARCH(1,1) where

• 

    (4) Set that:

• 
• 

    (5) For a stable GARCH(1,1), it is required that:

• 

    (6) In case of GARCH(p,q):

• 

* Maximum Likelihood Method

    (1) Conditions:

• Maximize: 
• Taking logarithms: 
• Result: 

   (2) The meaning of the MLM

• 계수  올바른 값을 추정하기 위함
• 예를 들어, 과거 100일간(1일-100일) 데이터를 기준으로 다음날(2일-100일)의 변동성 추정 가능 ( 추정)
• 99일간의 변동성 추정값을 넣고를 최대로 만드는 계수값 추출

   (3) Application

• 계수값을 구한 뒤, 향후 n일동안의 평균 변동성 추정 가능
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• http://blog.naver.com/chunjein/100210717285 참조